Lịch sử toán (không gian vecto - ánh xạ tuyến tính)

I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

    Khái niệm không gian véc tơ có nguồn gốc từ Vật lý. Trong các công trình về số quatécnion từ năm 1843 của nhà Toán học Anh Hamilton ( 1805 - 1865), người ta có thể tìm thấy một dạng thô sơ của khái niệm không gian véc tơ 3 và 4 chiều, các tên gọi véc tơ cũng như các đại lượng vô huớng. Hamilton dùng các số quatecnion để nghiên cứu các vấn đề Toán Lý. Sau đó các nhà vật lý như Maxwell ( 1831 - 1879) và Gibbs ( 1839 - 1879) đã phát triển dần dần lý thuyết không gian véc tơ thực 3 chiều.

    Hamilton được coi là một thần đồng toán học từ khi còn nhỏ. Năm 22 tuổi ông đã được phong nhà thiên văn hoàng gia Irland, năm 38 tuổi phát hiện ra các số quatecnion mà ông cho là phát minh toán học vĩ đại nhất. Sau đó ông viết 109 bài báo và 2 cuốn sách ( mỗi cuốn dày gần 900 trang) về các số này. Ngày nay các công trình này ít được nhắc đến. Nhưng những tư tưởng và khái niệm toán học trong các công trình đó như chuyển từ không gian 3 chiều sang không gian 4 chiều, véc tơ, tích vô hướng,... đã mở đường cho sự ra đời của môn học “ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH”.

    Năm 1844, cùng một lúc với Hamilton, nhà Toán học Đức Grassmann (1809 - 1877) đã đưa ra khái niệm không gian " giãn nở tuyến tính", đó là một dạng của không gian véc tơ n chiều. Do cách viết khó hiểu nên công trình này ít được các nhà toán học khác chú ý đến. Vì vậy, Grassmann đã trình bày các ý tưởng của mình trong một bài báo do ông tự bỏ tiền túi ra xuất bản vào năm 1862. Trong các công trình này ông cũng đã định nghĩa " đại lượng giãn nở " như là tổ hợp tuyến tính, đã định nghĩa không gian con, định nghĩa khái niệm độc lập tuyến tính của hệ véc tơ, và cả những khái niệm mà ngày nay ta gọi là cơ sở, số chiều, tích vô hướng. Khái niệm tích vô hướng cũng đã xuất hiện trong một công trình của nhà toán học Pháp Saint - Venant công bố năm 1845. Dựa trên các công trình của Grassmann nhà toán học người Italia G. Peano ( 1858 - 1932) đã đưa ra định nghĩa không gian véc tơ thực và các định nghĩa không gian con, hệ véc tơ độc lập tuyến tính, chiều ( kể cả chiều vô hạn) trong một cuốn sách xuất bản năm 1888. Trong cuốn sách này lần đầu tiên người ta thấy các ký hiệu về hợp (), giao () và thuộc () của lý thuyết tập hợp. Sau đó thì các công trình của Grassmann, và của Peano bị lãng quên trong một thời gian dài, một điều đã được Grassmann tiên đoán trước. Trong phần mở đầu bài báo của mình xuất bản năm 1862 Grassmann viết: “ Tôi tin rằng lý thuyết này, lý thuyết mà tôi đã tốn biết bao thời gian và sức lực cho nó, sẽ không bị lãng quên. Tôi biết rằng nó chưa hoàn toàn như ý muốn, nhưng tôi cũng phải nói lên, mặc dù có thể có người cho rằng tôi tự kiêu, rằng công trình này có thể nằm đấy 17 năm học lâu hơn nữa mà không tác động gì vào khoa học, nhưng sẽ có lúc người ta sẽ lôi nó ra từ đống bụi của sự lãng quyên và những tư tưởng của nó sẽ đâm hoa kết trái... Những tư tưởng này có thể xuất hiện dưới dạng khác và trở nên sinh động cùng với thời gian. Bởi vì chân lý là muôn thuở và thiêng liêng, và không có một sự phát triển nào của chân lý dù có nhỏ bé đến đâu có thể biến mất. Chân lý sẽ còn đó ngay cả khi bộ áo mà những con người yếu đuối đã mặc lên cho nó tan ra thành tro bụi ”.

    Từ năm 1890 đến 1920 đã xảy ra một cuộc tranh luận lớn về việc trong hai phương pháp nghiên cứu véc tơ của Haminton và Grassmann thì phương pháp nào là hay hơn. Chỉ đến khi lý thuyết nhóm ra đời và sử dụng cả hai phương pháp thì cuộc tranh luận này mới kết thúc. Lúc đầu mọi người không tin và nghi ngờ hình học các không gian có số chiều lớn hơn 3. Chỉ sau khi không gian véc tơ 3 chiều đã trở nên phổ cập trong Vật lý thì lý thuyết về các không gian véc tơ nhiều chiều mới dấn được hình thành vào đầu thế kỷ 20. Việc xét các không gian véc tơ một cách tổng quát được bắt đầu bởi nhóm các nhà toán học mang tên Bourbaki vào năm 1947. 

    Khái niệm hệ toạ độ trong không gian xuất hiện lần đầu tiên trong một cuốn sách của Đềcac ( Descartes, 1596 - 1650) xuất bản năm 1637. Có thể nói đây là một cuộc cách mạng trong hình học nói riêng và trong toán học nói chung. Đềcác rất tự hào là một trong những bậc tiền bối đã không biết đến khái niệm này “vì nếu không thì họ đã không tốn công sức viết nhiều cuốn sách dày như vậy mà trong đó chỉ cần xem thứ tự các định lý cũng biết rằng họ không có một phương pháp nghiên cứu đúng đắn ”. 

    Định lý tráo véc tơ thường được coi là xuất xứ từ một bài báo của nhà Toán học người Đức Steinitz (1871 - 1928) đăng trên một tạp chí Toán học năm 1913. Nhưng ngay từ đầu bài báo Steinitz đã nói là những cơ sở về hình học n chiều được ông trình bày ở đây có thể được coi là quen biết và ông chỉ muốn trình bày chúng lại sao cho dễ sử dụng. Ngày nay người ta biết rằng Grassmann đã phát biểu định lý này từ năm 1862 ( 52 năm trước Steinitz). Qua đây cho ta thấy rằng việc trình bày một kết quả nào đó là rất quan trọng và tên người gắn với một khái niệm hay một định lý nào đó không phải lúc nào cũng đúng. Nhiều định lý không được gắn tên với người đầu tiên phát hiện ra nó. Nhiều định lý khác thì lại được gắn tên với tên người chỉ chứng minh được một trường hợp rất đặc biệt của định lý đó.

    (Theo GS. TSKH Ngô Việt Trung - Viện Toán học). 

    Khái niệm không gian véc tơ xuất hiện muộn hơn nhiều so với khái niệm định thức. Leibnitz nhà toán học Đức ( 1646 - 1716), là người đầu tiên phát hiện ra khái niệm định thức và cũng là người có công lao đáng kể trong việc đề xướng khái niệm không gian véc tơ. Bắt đầu từ ý tưởng muốn dùng đại số để nghiên cứu hình học, cụ thể là muốn dùng đại số để miêu tả cả vị trí của các điểm và hướng của đường thẳng trong hình học, Leibnitz đã quan tâm đến các cặp điểm, tuy nhiên ông vẫn chưa phân biệt thứ tự của hai điểm. Hơn 100 năm sau khi Leibnitz qua đời tức là vào năm 1833, các công trình của ông về vấn đề này mới được công bố và người ta đã treo giải thưởng cho những ai phát triển được ý tưởng của Leibnitz trong những công trình này. Năm 1835, được Mbius thông báo tin này,

Grassmann, một giáo viên thể dục của một trường học ở thành phố Stetin thuộc nước Đức, với lòng ham mê Toán học, sau gần một năm làm việc, đã trình bày công trình về một cấu trúc tương tự không gian véc tơ. Từ năm 1832 Grassmann đã tìm được các dạng véc tơ của các luật trong cơ học. Ông đã chú ý tới tính giao hoán, kết hợp của phép cộng các véc tơ. Công trình của ông quá tổng quát nên đến năm 1840 các nhà toán học vẫn không hiểu được ý tưởng của ông, và vì vậy nó có ít ảnh hưởng đến lý thuyết không gian véc tơ. Grassmann đã gửi quyển sách đầu tiên của mình cho Gauss và cho Mbius, nhưng Mbius không đọc hết vì không hiểu được ý tưởng của Grassmann. Năm 1844 cùng một lúc với Hamilton, Grassmann đã đưa ra khái niệm không gian " giãn nở tuyến tính", tức là không gian véc tơ n chiều ngày nay cùng với các tính chất của nó. Ông cũng đã định nghĩa " đại lượng giãn nở " như là tổ hợp tuyến tính, đã định nghĩa không gian con, định nghĩa khái niệm độc lập tuyến tính của hệ véc tơ, và cả những khái niệm mà ngày nay ta gọi là cơ sở, số chiều, tích vô hướng. Cũng có một số lần Grassmann xin được làm việc ở trường Đại học nhưng không được chấp nhận. Lần cuối cùng ông bị từ chối là do Kummer đã nhận xét rằng các bài báo của ông trình bày không được rõ ràng sáng sủa. Cho đến khi chết ông vẫn là giáo viên thể dục ở thành phố Stetin, quê hương ông. 

    Việc biểu diễn hình học các số phức là một bước tiến trong quá trình hình thành không gian véc tơ. Năm 1841, William Rowan Hamilton nhà toán học người Ailen (1805 - 1865) đã công bố một công trình trong đó số phức được biểu diễn bởi cặp hai số thực. Đến năm 1841, ông quan tâm đến bộ n số thực vì muốn có những kết quả tương tự như đối với các số phức ( tức là những cặp số). Chính đây là một sự tiếp cận với không gian véc tơ. Sự quan tâm đến các bộ ba số thực đã dẫn ông đến với số quaternion và ông đã dùng khái niệm này để nghiên cứu toán lý. Sau đó nhà Vật lý người Anh J. C. Maxwell ( 1831 - 1879) và Gibbs ( 1839 - 1879) đã phát triển dần dần lý thuyết không gian véc tơ thực 3 chiều. Các thuật ngữ véc tơ và vô hướng do Maxwell đề xướng. Hamilton cũng đã định nghĩa khái niệm tích véc tơ. William Rowan Hamilton có một tiểu sử sáng chói. Khi còn nhỏ ông nổi tiếng là một thần đồng toán học; 13 tuổi ông học được 13 thứ tiếng. Sau khi tốt nghiệp đại học Trinity ở Dublin, ông được cử làm giáo sư thiên văn học ở trường Đại học tổng hợp. Năm 1837 ông là chủ tịch Viện hàn lâm khoa học Ailen.

    ( Theo TS  Nguyễn Duy Thuận - ĐHSP Hà Nội).

II. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

    Nhà Toán học Italia G. Peano ( 1858 - 1932) là người đầu tiên đưa ra khái niện ánh xạ tuyến tính ( với một tên gọi khác) không phụ thuoọc vào toạ độ của véc tơ vào năm 1888.Các nhà Toán học Đức Gauss ( 1777 - 1855) và nhà Toán học Pháp Glois ( 1811 - 1832) là những người đầu tiên thấy rằng có thể tính toán một cách bình thường với các lớp thặng dư của các số nguyên. Sau đó nhà Toán học người Đức Kronecker ( 1823 - 1891) phát hiện thấy điều tương tự với các đa thức. Phát hiện này đã dẫn đến sự hình thành khái niệm cấu trúc không gian thương. Gauss từ bé đã nổi tiếng là một thần đồng toán học. Thầy dạy Gauss là Bartel sau này cũng là thày dạy toán cho nhà Toán học người Nga Lôbaxepski ( 1793 - 1856) người đã phát hiện ra hình học phi Ơclit. Một vài cột mốc đáng ghi nhớ trong cuộc đời Gauss. Năm 14 tuổi được nữ tước vùng Braunschweig để ý đến khi đang chú ý đọc sách ở vườn hoa và được bà này cho học bổng đi học. Năm 19 tuổi dựng được đa giác đều 17 cạnh với com pa và thước kẻ. Năm 22 tuổi bảo vệ luận án phó tiến sỹ về Định lý cơ bản của Đại số. Năm 24 tuổi tính được quỹ đạo của vệ tinh Peres và người ta tìm thấy vệ tinh đúng ở chỗ mà Gauss đã chỉ ra. Đây chỉ là một phần nhỏ những gì có thể kể được về nhà Toán học thiên tài này.

    Galois ( 1811 - 1832) nhà Toán học người Pháp được coi như một thiên thạch trên bầu trời toán học. Ông chết năm 21 tuổi sau một cuộc đấu súng. Chỉ có mấy trang bản thảo viết đêm trước ngày định mệnh, ông đã đi vào lịch sử toán học như cha để của lý thuyết nhóm là nền tảng của bộ môn Đại số. Bản thảo đó ông đã đề nghị gửi cho Jacobi (1804 - 1851) nhà Toán học người Đức và Gauss để đánh giá “ không phải về sự đúng đắn mà là về tầm quan trọng của những định lý ”. Những tư tưởng toán học của ông đã đi trước thời đại và do đó không được những nhà toán học đương thời đánh giá đúng. Các bản thảo được Galois gửi trước đó cho Viện hàn lâm khoa học Pháp đã bị bỏ rơi vào quyên lãng trong một thời gian dài.

    Kronecker ( 1823 - 1891) là một nhà Toán học người Đức rất bảo thủ. Ông không chấp nhận khái niệm tập hợp vô hạn hay đường thẳng biểu diễn các số thực. Đối với ông số  không tồn tại nhưng phương trình x2 = 2 thì tồn tại. Kronecker cho rằng toàn bộ nền toán học phải được xây dựng trên các số nguyên. Ông từng phát biểu tại một hội nghị: “ Số tự nhiên được Chúa tạo ra, mọi thứ khác là do con người ”. Còn các dạng toàn phương bắt đầu được nghiên cứu và khoảng 300 - 200 năm trước công nguyên bởi các nhà Toán học Hylạp Euclid, Archimedes, và Apollonios. Euclid nổi tiếng với bộ sách “ Cơ sở ” gồm 13 tập được trình bày một cách hệ thống toàn bộ kiến thức toán học thời bấy giờ. Ngược lại Archimedes là một nhà phát minh khoa học thực sự. Còn Apollonios cũng giống như Euclid nổi tiếng về bộ sách “ Các nhát cắt của hình nón ”, đó là một công trình khổng lồ gồm 8 tập với khoảng 400 định lý.   

     (Theo GS. TSKH Ngô Việt Trung - Viện Toán học). 

    Chúng ta đều biết rằng một trong những người sáng tạo ra khái niệm không gian véc tơ là nhà Toán học người Đức Hermann Gunther Grassmann. Sau đó Peano nhà Toán học người Italia vào năm 1888, đã dưa ra định nghĩa tiên đề của không gian véc tơ ( hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều) trên trường số thực với các ký hiệu hoàn toàn hiện đại. Ông cũng đã định nghĩa khái niệm ánh xạ tuyến tính từ một không gian vec tơ này vào một không gian véc tơ kia. Peano cũng là một trong những người đầu tiên sáng lập phương pháp tiên đề và cũng là một trong số những người đầu tiên đánh giá đúng đắn giá trị những cống hiến của Grassmann. Sau đó ít lâu, Pinkerle đã thử phát triển các ứng dụng của Đại số tuyến tính vào Lý thuyết hàm. Điều đó giúp ông tìm hiểu được những trường hợp “ liên hợp Lagrange đặc biệt ” của những ánh xạ tuyến tính liên hợp và nó đã mau chóng ảnh hưởng đến không những việc nghiên cưú phương trình vi phân mà cả phương trình đạo hàm riêng. (Lagrange là nhà Toán học người Pháp 1736 - 1813). Kết quả của Pinkerle được thể hiện trong các công trình của Hilbert và trường phái của ông về không gian Hilbert, và cũng được thể hiện trong các ứng dụng của chúng vào giải tích. Cũng như ánh xạ tuyến tính, vào năm 1922, Banach đã định nghĩa không gian mà sau này mang tên ông ( không gian Banach), đó là những không gian không đẳng cấu với không gian liên hợp với nó.

    ( Theo TS  Nguyễn Duy Thuận - ĐHSP Hà Nội).